Per me è più facile con i calcoli trigonometrici

Comunque per fare questo tipo di misurazioni, esiste un sistema più semplice che non fa uso dei calcoli trigonometrici. Volendo misurare la distanza AP, percorro una distanza 2x (diciamo 20m) in direzione perpendicolare ad AP, e raggiungo, diciamo, il punto B (in cui magari pianto un bastone) e da qui percorro un'ulteriore distanza x (in questo caso 10m) e raggiungo, diciamo, il punto C. Da qui cammino in maniera perpendicolare ad ABC finché non vedo B e P allineati: la distanza AP è uguale al doppio di quest'ultima distanza percorsa.

Allora, il discorso dei radianti e dei gradi millesimali è meno complicato di quello che sembra. Sarò molto "empirico" nella spiegazione, e magari poi tutte le ulteriori deduzioni trigonometriche le puoi fare tu (e soprattutto mi puoi correggere laddove ho sbagliato).

Prima una brevissima premessa teorica (scritta male)
Un milliradiante è sostanzialmente un angolo che sottende un arco di circonferenza di misura nota: questa misura nota dell'arco sotteso è corrispondente a un millesimo del raggio.
Immaginiamo di avere una circonferenza il cui raggio è uguale a 1000 metri: il milliradiante sarà l'angolo che sottende un arco di cerchio lungo 1 m (il radiante invece prenderebbe un arco di cerchio lungo 1 km).
Allora, nell'angolo giro calcolato in questo modo, quanti milliradianti ci sono? Non è difficile calcolarlo: se il raggio è 1000 m, la circonferenza misurerà, all'incirca, 6283 m (raggio * 2 pi greco). Quindi siccome 1 m sulla circonferenza corrisponde a 1 milliradiante, nell'angolo giro ci sono 6283 milliradianti (circa, visto che il pi greco è un numero infinito etc. etc.).

Poi una serie di approssimazioni semplificatrici
Per rapportare questa teoria con la nostra realtà "topografica", occorre fare due semplificazioni o approssimazioni.

1. Primo: non parliamo più di circonferenze, ma pensiamo a un poligono con moltissimi lati (nel nostro caso, sono lati di 1 m)
2. Secondo: arrotondiamo la cifra 6283 in una cifra più "rotonda" (convenzionalmente è 6400 per varie ragioni).

Quindi noi ci ritroviamo con un poligono regolare di 6400 lati. Ogni lato del poligono è lungo 1 m. Congiungendo due vertici con il centro del poligono, abbiamo 6400 triangoli isosceli con base = 1 metro, lato = 1 km, e l'angolo più acuto corrispondente appunto a quello che per convenzione si chiama angolo millesimale (mil oppure °°). A questo punto non è più un milliradiante preciso, ma per noi conta poco. A noi adesso interessa solo sapere che nell'angolo giro ci sono 6400°°: questo significa, per capirsi, che il nord è uguale a 0°° (o 6400°°), l'est è 1600°°, il sud 3200°°, l'ovest 4800°°.

Le conseguenze e le semplici formule che ne derivano
A questo punto c'è una relazione definita, purché sia noto almeno l'angolo e una delle due dimensioni lineari.



"angular width" per noi diventa "°°" , per comodità

In pratica, se io so che 1°° sottende un lato di 1 m (W) a 1 km di raggio (R), facendo riferimento alla figura, significa che, per esempio, se

W = 10 m
R = 1 km
°° = 10°°

Questo in pratica, come formula, significa che

R = W/°°

oppure che

W = °°/R

Infine, l'uso pratico
Su tutta la dimostrazione posso essere stato impreciso e poco "matematico", ma l'uso pratico è semplice e lineare. In pratica, se io sono su un punto e voglio sapere la Distanza dell'obiettivo, devo puntare l'obiettivo e leggere la misura angolare in °°, poi mi sposto di 10 metri (il cordino lungo 10 m abbondanti, con i nodi precisamente a 10 m si teneva insieme alla bussola) e ripunto l'obiettivo e leggo l'azimuth. Si faceva velocemente la sottrazione e a quel punto si divideva la base 10 per la misura °° ottenuta dalla sottrazione (l'ampiezza dell'angolo), ricavando la distanza in km.
In pratica:

• vedo un casolare su una collina; la punto e leggo sulla bussola 4400. Poi mi sposto di 10 m e leggo sulla bussola 4425: l'angolo è quindi di 25°° (4425 - 4400 = 25).
• faccio 10 (W) diviso 25 (°°) e ottengo 0.4 (10 / 25 = 0.4)
• moltiplico 0.4 per 1 km e capisco che la casa è a 400 metri (R)

Con questa base fissa di 10 m, diventava facile calcolare le distanze.

In questo modo, la "base" del triangolo era, diciamo così, dalla nostra parte. Ma si poteva fare anche una cosa all'incontrario, sempre però conoscendo le dimensioni di ciò che si guardava: per esempio, se sono in un punto e so che un dato oggetto ha una certa misura lineare (tipico esempio, veicoli di dimensioni sostanzialmente note, edifici di dimensioni stimabili, tratti di strada di dimensione stimabile), invece di spostarmi io, misuro l'angolo tra la punta e la coda del veicolo, o tra l'inizio e la fine del casolare, e poi (mettiamo sia lungo 4 m) divido questa misura per l'angolo misurato...

Poi vale anche il discorso inverso: sapendo già la distanza da un elemento, è possibile stimare la dimensione dell'elemento (W, nella figura sotto, dove la distanza orizzontale che ci interessa, visto che è roba di artiglieria, è quella tra il "target" e le "bursts", le esplosioni derivanti dal tiro fuori bersaglio).




Insomma, era abbastanza comodo e con un po' di esercizio non era problematico. Chiaramente, il discorso valeva per intervalli non troppo ampi (mi sembra di ricordare fino a 300 °°) e con distanze né troppo brevi, né troppo grandi, per ridurre il margine d'errore.