Prendiamo le distanze con una bussola

Cara vecchia bussola, sai dirmi quanto è distante il monte laggiù?
E quanto è largo quel fiume?

Normalmente ci vorrebbe un teodolite, ma la nostra bussola da traguardo può comunque offrire una stima, per quanto spannometrica.

Per prima cosa ci serve una calcolatrice scientifica o almeno una tavola trigonometrica (un foglio A4) su cui sono riportati i valori dei seni dei primi 45° (tanto poi i valori si ripetono).
Si puo' anche calcolare a mano, ma francamente... è una ROGNA! Ecco una tavola pronta da stampare
Vedi l'allegato tavola_trigono.pdf
Non sembra, ma con questa tabella si possono calcolare seno, coseno e tangente di tutti gli angoli Procediamo con calma.

Immaginamo di essere sulla riva di un fiume e dobbiamo sapere quanto è ampio (magari c'e' un passaggio alla marinara da realizzare e vogliamo sapere se abbiamo abbastanza corda).
Fisso un riferimento sull'altra sponda, chessò... un albero, un masso... e lo chiamo B, mentre il punto A è quello che ho evidentemente sotto i piedi.
Lo traguardo con la mia fedele bussola e misuro la direzione della retta che unisce me e il riferimento scelto. Chiamiamola AB tanto per fare i precisini.

Questo è il lato del triangolo di cui ignoro la lunghezza e che voglio scoprire.
Image1.jpg
Prendo nota dell'angolo (ro) e me lo segno (è l'angolo tra la direzione AB e il nord).
Ora mi giro di 90° rispetto alla direzione scelta (ro+90)° sperando di non finire in acqua :biggrin: e percorro una distanza certa.
Per se hai un cordino di cui conosci la lunghezza lo fissi a terra nel punto in cui ti trovi, lo stendi e lo "tiri" nella direzione scelta aiutandoti con la fedele bussola.
La distanza deve essere adeguata, per esempio una 10ina di metri, nel caso di un fiume, fino ad un centinaio o più per oggetti più grandi come una montagna o un lago.
Quindi diciamo che cammino in linea retta per 10 metri e raggiungo un nuovo punto che chiamo C e qui traguardo nuovamente verso B che ho scelto e vedo che direzione ha rispetto al nord.
misura_fiume2.jpg
Il nuovo angolo lo chiamo [epsilon] e di fatto insieme a (ro) mi permette di conoscere tutti gli altri angoli, in particolare scopro quanti gradi è ampio (alpha)... la dimostrazione è molto semplice e non la riporto, vi basti sapere che (alpha) è uguale a 90-epsilon-rho.

Il lavoro risulta semplificato perche AB e AC sono a 90° tra loro.
Ok, abbiamo due angoli e il lato di un triangolo, tanto basta per calcolare tutto il resto applicando questa formuletta.

AB/sen(alpha) = AC/sen(beta) = BC/sen(90)
che diventa
AB/sen(alpha) = AC/sen(beta) = BC
nel caso di un triangolo rettangolo, noto anche come teorema dei seni.
misura_fiume3.jpg
Usando la tavola trigonometrica di cui sopra ci ricaviamo quanto vale sen(alpha).
Per esempio alpha = 60° scorri la colonna "Gradi°" fino a 45, passa a quella accanto torna indietro fino a 60° e guarda il valore nella colonna n°2: 0,8660, mentre sen(beta) è uguale a 0,5 e allora ci ricaviamo finalmente la lunghezza di AB che è data da:

AB/sen(alpha) = AC/sen(beta)
AB = sen(alpha) * AC/sen(beta)
AB = 0,866 * 10/0.5 = 4,66

Una volta fatto pratica con il concetto che: "noti due angoli e un lato puoi scoprire tutto quello che ti serve" puoi calcolare di tutto a patto di avere strumenti precisi e un metodo rigoroso.
Il metodo ha molti limiti e spesso richiede l'uso di un calcolatore scientifico, ma chi è che non ha un supercomputer sempre con se al giorno d'oggi? Come sarebbe a dire non lo avete? Il vostro telefono cellulare non dispone di una calcolatrice? E la sua potenza di calcolo è di qualche ordine di grandezza superiore a quella del computer a bordo delle astronavi Apollo. Se con quello sono arrivati e tornati dalla Luna, voi col vostro cellulare, una bussola e un cordino potete benissimo misurare una distanza su questo pianeta.

Nettuno

PS: a proposito della tabella in PDF ci sono un paio di cose da sapere
1) per calcolare il seno di un angolo basta scorrere il dito lungo la colonna gradi, arrivato in fondo passa a quella accanto e risali, una volta in cima passa a quella accanto e ridiscendi fino a raggiungere il valore desiderato. Nel caso di un triangolo difficilmente avrai valori maggiori di 90. Poi se sei in una colonna pari leggi il valore nella colonna 2, altrimenti leggi il valore nella colonna 1.

2) Per calcolare il coseno vale quanto detto per il seno, ma se trovi il valore dell'angolo in una colonna pari devi leggere il valore corrispondente nella colonna 1 e viceversa.

Seno e coseno sono la stessa funzione, ma con fase opposta: quando il seno vale 1 il coseno vale 0 e viceversa.

3) Per calcolare la tangente di un angolo basta eseguire sen(alpha)/cos(alpha)

...e ora che avete le funzioni trigonometriche di base l'unico limite a quello che volete misurare è dato dalla vostra cazzimma :biggrin:
 
Ultima modifica di un moderatore:
Be' stavolta sai a che puo' servire e sai che se sbagli, invece di prendere un votaccio, farai un bagno fuoriprogramma :biggrin:
 
Bella discussione, e ottima spiegazione: queste son tra le cose che apprezzo di più leggere sul forum.

C'è una cosa in più da notare, però... alcune delle bussole militari (o anche certe bussole geologiche) sono graduate in milliradianti invece che in gradi. E la ragione è che in questo modo fanno risultare molto più facili certi calcoli.

Io ho fatto il militare in artiglieria :) e con queste cose ci massacravano :)
Con un cordino lungo 10 m (come detto nella spiegazione) e la bussola graduata in milliradianti, però, i calcoli erano quasi facili.

Ora sono di fretta... ma, se nel frattempo non l'avrà spiegato bene qualcun altro, appena posso reintervengo per questa cosa del milliradiante ("mil" o "°°")...
 
Sappi che sono curioso, ho letto qualcosa e non ci ho capito molto.
Per me è più facile con i calcoli trigonometrici, ma solo perché al liceo ho studiato un bel po' di trigonometria. A quanto ho capito con i gradi°° si possono fare molti calcoli a mente, ma come... mi sfugge ^__^

Nettuno
 
Ringrazio anch'io per la spiegazione chiara ed esaustiva!
Sottolinerei l'importanza di non utilizzare angoli troppo piccoli, che amplificherebbero enormemente gli errori di valutazione.
Nel senso che le bussole abitualmente utilizzate non sono mai precise, ci potrebbe essere un'approssimazione superiore al grado, per non parlare poi del cambiamento della declinazione magnetica, spesso trascurato e difficilmente riportato sulle carte diverse dall'IGM, dalle zone di anomalia magnetica e da altri fattori.
Proprio per questioni trigonometriche, tanto più il triangolo si avvicina a uno equilatero e tanto più precisa è la misurazione, tanto più il triangolo si assottiglia e tanto più l'errore può essere consistente, fino ad arrivare a situazioni limite in cui un errore di un grado porta a valutare una distanza infinita!:)
 
Per me è più facile con i calcoli trigonometrici
Allora, il discorso dei radianti e dei gradi millesimali è meno complicato di quello che sembra. Sarò molto "empirico" nella spiegazione, e magari poi tutte le ulteriori deduzioni trigonometriche le puoi fare tu (e soprattutto mi puoi correggere laddove ho sbagliato).

Prima una brevissima premessa teorica (scritta male)
Un milliradiante è sostanzialmente un angolo che sottende un arco di circonferenza di misura nota: questa misura nota dell'arco sotteso è corrispondente a un millesimo del raggio.
Immaginiamo di avere una circonferenza il cui raggio è uguale a 1000 metri: il milliradiante sarà l'angolo che sottende un arco di cerchio lungo 1 m (il radiante invece prenderebbe un arco di cerchio lungo 1 km).
Allora, nell'angolo giro calcolato in questo modo, quanti milliradianti ci sono? Non è difficile calcolarlo: se il raggio è 1000 m, la circonferenza misurerà, all'incirca, 6283 m (raggio * 2 pi greco). Quindi siccome 1 m sulla circonferenza corrisponde a 1 milliradiante, nell'angolo giro ci sono 6283 milliradianti (circa, visto che il pi greco è un numero infinito etc. etc.).

Poi una serie di approssimazioni semplificatrici
Per rapportare questa teoria con la nostra realtà "topografica", occorre fare due semplificazioni o approssimazioni.

  1. Primo: non parliamo più di circonferenze, ma pensiamo a un poligono con moltissimi lati (nel nostro caso, sono lati di 1 m)
  2. Secondo: arrotondiamo la cifra 6283 in una cifra più "rotonda" (convenzionalmente è 6400 per varie ragioni).
Quindi noi ci ritroviamo con un poligono regolare di 6400 lati. Ogni lato del poligono è lungo 1 m. Congiungendo due vertici con il centro del poligono, abbiamo 6400 triangoli isosceli con base = 1 metro, lato = 1 km, e l'angolo più acuto corrispondente appunto a quello che per convenzione si chiama angolo millesimale (mil oppure °°). A questo punto non è più un milliradiante preciso, ma per noi conta poco. A noi adesso interessa solo sapere che nell'angolo giro ci sono 6400°°: questo significa, per capirsi, che il nord è uguale a 0°° (o 6400°°), l'est è 1600°°, il sud 3200°°, l'ovest 4800°°.

Le conseguenze e le semplici formule che ne derivano
A questo punto c'è una relazione definita, purché sia noto almeno l'angolo e una delle due dimensioni lineari.

fig6-7.gif


"angular width" per noi diventa "°°" , per comodità

In pratica, se io so che 1°° sottende un lato di 1 m (W) a 1 km di raggio (R), facendo riferimento alla figura, significa che, per esempio, se

W = 10 m
R = 1 km
°° = 10°°

Questo in pratica, come formula, significa che

R = W/°°

oppure che

W = °°/R

Infine, l'uso pratico
Su tutta la dimostrazione posso essere stato impreciso e poco "matematico", ma l'uso pratico è semplice e lineare. In pratica, se io sono su un punto e voglio sapere la Distanza dell'obiettivo, devo puntare l'obiettivo e leggere la misura angolare in °°, poi mi sposto di 10 metri (il cordino lungo 10 m abbondanti, con i nodi precisamente a 10 m si teneva insieme alla bussola) e ripunto l'obiettivo e leggo l'azimuth. Si faceva velocemente la sottrazione e a quel punto si divideva la base 10 per la misura °° ottenuta dalla sottrazione (l'ampiezza dell'angolo), ricavando la distanza in km.
In pratica:

  • vedo un casolare su una collina; la punto e leggo sulla bussola 4400. Poi mi sposto di 10 m e leggo sulla bussola 4425: l'angolo è quindi di 25°° (4425 - 4400 = 25).
  • faccio 10 (W) diviso 25 (°°) e ottengo 0.4 (10 / 25 = 0.4)
  • moltiplico 0.4 per 1 km e capisco che la casa è a 400 metri (R)
Con questa base fissa di 10 m, diventava facile calcolare le distanze.

In questo modo, la "base" del triangolo era, diciamo così, dalla nostra parte. Ma si poteva fare anche una cosa all'incontrario, sempre però conoscendo le dimensioni di ciò che si guardava: per esempio, se sono in un punto e so che un dato oggetto ha una certa misura lineare (tipico esempio, veicoli di dimensioni sostanzialmente note, edifici di dimensioni stimabili, tratti di strada di dimensione stimabile), invece di spostarmi io, misuro l'angolo tra la punta e la coda del veicolo, o tra l'inizio e la fine del casolare, e poi (mettiamo sia lungo 4 m) divido questa misura per l'angolo misurato...

Poi vale anche il discorso inverso: sapendo già la distanza da un elemento, è possibile stimare la dimensione dell'elemento (W, nella figura sotto, dove la distanza orizzontale che ci interessa, visto che è roba di artiglieria, è quella tra il "target" e le "bursts", le esplosioni derivanti dal tiro fuori bersaglio).

fig6-8.gif



Insomma, era abbastanza comodo e con un po' di esercizio non era problematico. Chiaramente, il discorso valeva per intervalli non troppo ampi (mi sembra di ricordare fino a 300 °°) e con distanze né troppo brevi, né troppo grandi, per ridurre il margine d'errore.
 
Ultima modifica:
Non vorrei prendere un abbaglio, ma dato che il Nord non è un punto, ma una direzione, la seconda figura è sbagliata, e l'angolo alfa = 90 + epsilon - rho, dove rho ed epsilon sono gli azimut di B misurati, rispettivamente, in A e C.

Comunque per fare questo tipo di misurazioni, esiste un sistema più semplice che non fa uso dei calcoli trigonometrici.
Volendo misurare la distanza AP, percorro una distanza 2x (diciamo 20m) in direzione perpendicolare ad AP, e raggiungo, diciamo, il punto B (in cui magari pianto un bastone) e da qui percorro un'ulteriore distanza x (in questo caso 10m) e raggiungo, diciamo, il punto C. Da qui cammino in maniera perpendicolare ad ABC finché non vedo B e P allineati: la distanza AP è uguale al doppio di quest'ultima distanza percorsa.
 

Allegati

@Vortex: grazie, ora so come usare la scala °° :)

@Beppe: hai applicato il teorema di Talete. E vedo che il metodo funziona con triangoli qualsiasi, puoi anche non servirti di triangoli rettangoli.
Grazie per la segnalazione, mi ero mangiato un pezzo della formuletta per calcolare alpha, ora l'ho corretta in rosso... ma perché dici 90-epsilon+rho? Epsilon+Rho = beta, 90-beta = alpha, o se preferisci prendi la figura 3 da C traccia la parallela a AN, CN' e poi traccia la parallela ad AB che chiami CB'.
L'angolo N'CB' è uguale a rho (teorema del fascio di rette), mentre NCN', (stesso teorema) è uguale ad epsilon. Alfa, epsilon e rho insieme formano un angolo uguale a BAC che è retto per costruzione. Ne viene fuori che 90-(rho+epsilon) è uguale ad alpha.
Ok, è l'1 di notte, domattina rivedo i conti. Adesso potrei aver scritto e dimostrato che la terra è a forma di tartaruga gigante :biggrin:
 
Mi sembra di aver capito che c'è una differenza nel modo in cui definiamo gli angoli rho ed epsilon. Per me sono gli azimut, come li leggo sulla bussola, ovvero misurati sempre in senso orario.
Nel tuo esempio sopra, invece, l'angolo rho è misurato in senso orario, mentre l'angolo epsilon del disegno è equivalente all'esplementare dell'azimut, ovvero è misurato in senso antiorario rispetto al nord.
Di conseguenza la mia formula (90+eps-rho) è equivalente alla tua, se consideri che il tuo epsilon è l'esplementare del mio.
Credo, però, che nel tuo esempio se il nord fosse dalla parte opposta, si potrebbe fare confusione nella misurazione degli angoli. In termini pratici, infatti, gli angoli (azimut) che misuriamo con la bussola sono sempre in senso orario, e per applicare la tua formula, bisogna sempre trasformare epsilon (come io lo leggo sulla bussola) nel suo esplementare.
 
Comunque per fare questo tipo di misurazioni, esiste un sistema più semplice che non fa uso dei calcoli trigonometrici. Volendo misurare la distanza AP, percorro una distanza 2x (diciamo 20m) in direzione perpendicolare ad AP, e raggiungo, diciamo, il punto B (in cui magari pianto un bastone) e da qui percorro un'ulteriore distanza x (in questo caso 10m) e raggiungo, diciamo, il punto C. Da qui cammino in maniera perpendicolare ad ABC finché non vedo B e P allineati: la distanza AP è uguale al doppio di quest'ultima distanza percorsa.
Il tuo metodo è sicuramente più pratico essendoci meno calcoli però c'è bisogno di un metro per misurare la lunghezza di Y, o quanomeno di un cordino con le tacche ogni metro. Nel tuo caso ogni errore di misura in Y risulta in due volte l'errore in AP
Inoltre lo vedo adatto per misurare brevi distanze in quanto devi muoverti della metà della distanza che stai misurando. Questo vuol dire che se sto misurando una distanza di 1 km devo arretrare di 500 metri per fare l'allineamento e non è detto che sia sempre possibile.

Resta comunque un metodo molto interessante e valido, molto veloce in caso di piccole distanze da misurare.
Si potrebbe creare un foglio A4 con tutti e tre i metodi di misura, direttamente sulla tabella del sin/cos presentata da Nettuno in modo da avere a portata di mano uno schema valido in ogni circostanza.
 
Ultima modifica:
Allora, il discorso dei radianti e dei gradi millesimali è meno complicato di quello che sembra. Sarò molto "empirico" nella spiegazione, e magari poi tutte le ulteriori deduzioni trigonometriche le puoi fare tu (e soprattutto mi puoi correggere laddove ho sbagliato).

Prima una brevissima premessa teorica (scritta male)
Un milliradiante è sostanzialmente un angolo che sottende un arco di circonferenza di misura nota: questa misura nota dell'arco sotteso è corrispondente a un millesimo del raggio.
Immaginiamo di avere una circonferenza il cui raggio è uguale a 1000 metri: il milliradiante sarà l'angolo che sottende un arco di cerchio lungo 1 m (il radiante invece prenderebbe un arco di cerchio lungo 1 km).
Allora, nell'angolo giro calcolato in questo modo, quanti milliradianti ci sono? Non è difficile calcolarlo: se il raggio è 1000 m, la circonferenza misurerà, all'incirca, 6283 m (raggio * 2 pi greco). Quindi siccome 1 m sulla circonferenza corrisponde a 1 milliradiante, nell'angolo giro ci sono 6283 milliradianti (circa, visto che il pi greco è un numero infinito etc. etc.).

Poi una serie di approssimazioni semplificatrici
Per rapportare questa teoria con la nostra realtà "topografica", occorre fare due semplificazioni o approssimazioni.

  1. Primo: non parliamo più di circonferenze, ma pensiamo a un poligono con moltissimi lati (nel nostro caso, sono lati di 1 m)
  2. Secondo: arrotondiamo la cifra 6283 in una cifra più "rotonda" (convenzionalmente è 6400 per varie ragioni).
Quindi noi ci ritroviamo con un poligono regolare di 6400 lati. Ogni lato del poligono è lungo 1 m. Congiungendo due vertici con il centro del poligono, abbiamo 6400 triangoli isosceli con base = 1 metro, lato = 1 km, e l'angolo più acuto corrispondente appunto a quello che per convenzione si chiama angolo millesimale (mil oppure °°). A questo punto non è più un milliradiante preciso, ma per noi conta poco. A noi adesso interessa solo sapere che nell'angolo giro ci sono 6400°°: questo significa, per capirsi, che il nord è uguale a 0°° (o 6400°°), l'est è 1600°°, il sud 3200°°, l'ovest 4800°°.

Le conseguenze e le semplici formule che ne derivano
A questo punto c'è una relazione definita, purché sia noto almeno l'angolo e una delle due dimensioni lineari.

fig6-7.gif


"angular width" per noi diventa "°°" , per comodità

In pratica, se io so che 1°° sottende un lato di 1 m (W) a 1 km di raggio (R), facendo riferimento alla figura, significa che, per esempio, se

W = 10 m
R = 1 km
°° = 10°°

Questo in pratica, come formula, significa che

R = W/°°

oppure che

W = °°/R

Infine, l'uso pratico
Su tutta la dimostrazione posso essere stato impreciso e poco "matematico", ma l'uso pratico è semplice e lineare. In pratica, se io sono su un punto e voglio sapere la Distanza dell'obiettivo, devo puntare l'obiettivo e leggere la misura angolare in °°, poi mi sposto di 10 metri (il cordino lungo 10 m abbondanti, con i nodi precisamente a 10 m si teneva insieme alla bussola) e ripunto l'obiettivo e leggo l'azimuth. Si faceva velocemente la sottrazione e a quel punto si divideva la base 10 per la misura °° ottenuta dalla sottrazione (l'ampiezza dell'angolo), ricavando la distanza in km.
In pratica:

  • vedo un casolare su una collina; la punto e leggo sulla bussola 4400. Poi mi sposto di 10 m e leggo sulla bussola 4425: l'angolo è quindi di 25°° (4425 - 4400 = 25).
  • faccio 10 (W) diviso 25 (°°) e ottengo 0.4 (10 / 25 = 0.4)
  • moltiplico 0.4 per 1 km e capisco che la casa è a 400 metri (R)
Con questa base fissa di 10 m, diventava facile calcolare le distanze.

In questo modo, la "base" del triangolo era, diciamo così, dalla nostra parte. Ma si poteva fare anche una cosa all'incontrario, sempre però conoscendo le dimensioni di ciò che si guardava: per esempio, se sono in un punto e so che un dato oggetto ha una certa misura lineare (tipico esempio, veicoli di dimensioni sostanzialmente note, edifici di dimensioni stimabili, tratti di strada di dimensione stimabile), invece di spostarmi io, misuro l'angolo tra la punta e la coda del veicolo, o tra l'inizio e la fine del casolare, e poi (mettiamo sia lungo 4 m) divido questa misura per l'angolo misurato...

Poi vale anche il discorso inverso: sapendo già la distanza da un elemento, è possibile stimare la dimensione dell'elemento (W, nella figura sotto, dove la distanza orizzontale che ci interessa, visto che è roba di artiglieria, è quella tra il "target" e le "bursts", le esplosioni derivanti dal tiro fuori bersaglio).

fig6-8.gif



Insomma, era abbastanza comodo e con un po' di esercizio non era problematico. Chiaramente, il discorso valeva per intervalli non troppo ampi (mi sembra di ricordare fino a 300 °°) e con distanze né troppo brevi, né troppo grandi, per ridurre il margine d'errore.
Questo va bene quando si ha un teodolite ove si possono leggere tutti i 6400 millesimi convenzionali; se invece si ha a disposizione una bussola come la mkIII a suo tempo fornitami dall'amministrazione della difesa, ove la minima unità era ed è di 20°° ecco che con un cordino di 10 metri la massima distanza utilmente stimabile è pari a 10m/20°°=0,5 km; se si riesce ad interpolare tra le tacche dello strumento in modo da ottenere una lettura al 10°° si arriva ad 1 chilometro. In pratica quando andavo in giro per l'Italia tutto vestito di verde per la stima delle distanze utilizzavo il crocicchio, sempre espresso in millesimi, della lastrina diastimometrica del binocolo Aeritalia 8x42. L'esempio sopra riportato è invece caratteristico dell'osservatore di artiglieria che deve comunicare alla batteria schierata in posizione arretrata ove sono effettivamente caduti i colpi rispetto al bersaglio da colpire. Complimenti per la spiegazione matematica, semplice e perfetta.
 

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